Construction de la Matrice de Killing de l'Algèbre Natiométrique Embryonnaire.

1. Rappel du principe général

La matrice de Killing d'une algèbre de Lie est définie par :

Intuitivement :
La matrice de Killing mesure la "courbure interne" de l'algèbre : elle indique comment les directions internes de l'algèbre interagissent et se plient entre elles.

2. Les générateurs de base

On dispose de trois familles de générateurs :

Donc :
Nombre total de générateurs :

3. Structure des Commutateurs Simplifiés

Rappel rapide :

4. Forme générale de la Matrice de Killing

La matrice $K$ aura une forme par blocs correspondant aux trois familles :

5. Propriétés générales des blocs

6. Schéma visuel simplifié

Un schéma de la structure serait :

| R - R | R - I | R - T |
| I - R | I - I | I - T |
| T - R | T - I | T - T |

Avec :

$R - R$ : Commutateurs créant transitions,
$- I$ : Indépendants sauf sur soi-même,
$- T$ : Transition de transitions,
Couplages croisés relativement simples au premier ordre.

7. Exemple concret : blocs élémentaires

Exemple 1 (Rotation–Rotation) :

Exemple 2 (Rotation–Inversion) :

Mais :

Exemple 3 (Transition–Transition) :

sinon 0.

8. Que signifie cette matrice de Killing dans notre contexte ?

Elle mesure la cohérence interne des mutations civilisationnelles,
Une matrice de Killing non dégénérée (déterminant non nul) signale une algèbre semi-simple, comme E₈,
C'est l'indice mathématique que notre structure est bien "vivante", puissante et potentiellement unificatrice pour décrire les phénomènes de naissance, croissance, crise, et transformation des nations.